Doston is post me maine aapko NCERT MATHS Class 10 maths chapter 4 Exercise 4.1 ke sabhi prashno ko bahut hi aasan bhasha me samjhane ka prayas kiya hai ummid karta hu ki aapko ye post bahut pasand aayegi. agar aap video ke madhyam se sikhna chahte hai to aap hamare Youtube Channel Unlock Study par jakar dekh sakte hai.
NCERT MATHS Class 10 maths chapter 4 Exercise 4.1
प्रश्नावली 4.1
प्रश्न 1 जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है।
(i) (x + 1)2= 2(x – 3)
(ii) x2– 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x +1) = x(x + 5)
(v) (2x – 1) 2(x – 3) = (x + 5) (x – 1)
(vi) x2+ 3x + 1 = (x – 2)2
(vii) (x + 2)3= 2x(x2 – 1)
(viii) x3– 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
उत्तर-
(i) (x + 1)2= 2(x – 3)
⇒ x2 + 2x + 1 = 2x – 6
⇒ x2 + 2x – 2x + 1 + 6 = 0
⇒ x2 + 7 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 1, b = 0 और c = 7 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है।
(ii) x2– 2x = – 6 + 2x
⇒ x2 – 2x – 2x + 6 = 0
⇒ x2 – 4x + 6 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 1, b = – 4 और c = 6 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है।
(iii) (x – 2) (x + 1) = ( x – 1) (x + 3)
⇒ x2 + x – 2x -2
= x2 + 3x – x – 3
⇒ x2 – x2+ x + x – 2x + 3x -2 + 3 = 0
⇒ 2x – x – 1 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
∴ यह द्विघात समीकरण नहीं है।
(iv) (x – 3) (2x +1) = x( x + 5)
⇒ 2x2 + x – 6x – 3= x2 + 5x
⇒ 2x2 – 5x – 3= x2 + 5x
⇒ 2x2 – x2 – 5x – 5x – 3 = 0
⇒ x2 – 10x – 3 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 1, b = – 10 और c = -3 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है।
(v) (2x – 1) 2(x – 3) = (x + 5) (x – 1)
⇒ (2x – 1) (2x – 6) = (x + 5) (x – 1)
⇒ 4x2 – 12x – 2x + 6 = x2 + 4x – 5
⇒ 4x2 – 14x + 6 = x2 – x + 4x – 5
⇒ 4x2 – x2 – 14x – 4x + 6 + 5 = 0
⇒ 3x2 – 18x + 11 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 3, b = -18 और c = 11 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है।
(vi) x2+ 3x + 1 = (x – 2)2
⇒ x2 + 3x + 1 = x2 – 2x +4
⇒x2 – x2 + 4x + 3x + 1 – 4 = 0
⇒ 7x – 3 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
∴ यह द्विघात समीकरण नहीं है।
(vii) (x + 2)3= 2x(x2 – 1)
⇒ x3 + 8 + 6 + 12x = 2x3 – 2x
⇒ 2x3 – x3 – 6 – 12x + 2x – 8 = 0
⇒ x3 – 6x2 – 10x – 8 =0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
∴ यह द्विघात समीकरण नहीं है।
(viii) x3– 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
⇒x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – 8 + 6x2 + 12x
⇒ x3 – x3 – 4x2 + 6x2 – 12x + 1 = 0
⇒ 2x2 – 13x + 1 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 2, b = -13 और c = 1 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है।
प्रश्न 2 निम्न स्थिति को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए।
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 मीटर2 है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने सेएक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
उत्तर:- एकआयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 मीटर2
माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x मीटर
आयताकार भूखंड की लंबाई = 2x + 1 मीटर
आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 मीटर2
लंबाई x चौड़ाई = 528
(2x + 1)x = 528
2x2 + x = 528
2x2 + x – 528 = 0
2x2 + 33x – 32x – 528 = 0
x(2x + 33) – 16(2x + 33 ) = 0
(2x + 33) (x – 16) = 0
2x + 33 = 0 तथा x – 16 = 0
2x = -33 तथा x = 16
तथा x = 16
चूँकि आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x मीटर2 = 16 मीटर
आयताकार भूखंड की लंबाई = 2x+ 1 मीटर
= 2 × 16 + 1 मीटर
= 32 + 1 मीटर2 = 33 मीटर2
(ii) दोक्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णाकों को ज्ञात करना है।
उत्तर:- दोक्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306
माना पहला धनात्मक पूर्णाक = x
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306
पहला धनात्मक पूर्णाक x दूसरा धनात्मक पूर्णाक = 306
(x + 1)x = 306
x2 + x = 306
x2 + x – 306 = 0
2x2 + 18x – 17x – 306 = 0
x(x + ) – 17(x + 18) = 0
(x + 18) (x – 17) = 0
x + 18 = 0 तथा x – 17 = 0
x = -18 तथा x = 17
चूँकि पहला धनात्मक पूर्णाक = x = 17
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
= 17 + 1 = 18
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी।हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है।
उत्तर:- मानारोहन की वर्तमान आयु = x
रोहन की माँ की आयु = x + 26
तीन वर्ष पश्चात रोहन की आयु = x + 3
तीन वर्ष पश्चात रोहन की माँ की आयु = x + 26 + 3 = x + 29
दोनो की आयु का गुणनफल = 306
(x + 29)(x + 3) = 306
x2 + 29x + 3x + 87 = 306
x2 + 32x + 87 = 306
x2 + 32x = 273
x2 + 32x – 273 = 0
x2 + 39x – 7x – 273 = 0
x2 + 39x – 7x – 273 =0
x(x + 39) – 7(x + 39) = 0
(x + 39) (x – 7) = 0
x + 39 = 0 तथा x – 7 = 0
x = -39 तथा x = 7
चूँकि रोहन की वर्तमान आयु = 7 वर्ष
रोहन की माँ की आयु = x + 26
= 7 + 26 = 33 वर्ष
(iv) एक रेलगाड़ी480 किमी। की दुरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 किमी/घण्टा कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
उत्तर:-
