class 10 maths chapter 1 exercise 1.1 solutions in hindi medium

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पाठ से कुछ महत्त्वपूर्ण बिंदु

1. प्रमेयिका :- प्रमेयिका एक सिद्ध किया हुआ कथन होता है जिसका प्रयोग किसी अन्य कथन को सिद्ध करने में होता है ।
2. एल्गोरिथ्म (Algorithm):- प्रतीक गणित/कलन विधि/एल्गोरिथ्म एल्गोरिथ्म के अनुसार, एक धनात्मक पूर्णांक को किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक 6 से इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है कि शेषफल प्राप्त हो, जो 6 से कम हो अर्थात् b> 0 है।
3. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma या Euclid Division Algorithm):- दो धनात्मक पूर्णांक व एवं b के लिए ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ, q एवं r विद्यमान है कि a = bq + r 0 <= r < b है। जहाँ a को भाज्य (dividend), b को भाजक (divisor), q को भागफल (quotient) तथा r को शेषफल (remainder) कहा जाता है। भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल ।
4. दो धनात्मक पूर्णांकों के म.स. ज्ञात करने की यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid’s Division Lemma to Compute HCF of Two Positive Integers):-  यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका एक ऐसी तकनीक (विधि) है जिसके द्वारा दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का म.स. ज्ञात करते हैं।

संख्या पद्धति

1. संख्या (Number):- जो वस्तु के परिमाण अथवा इकाई का अपवर्त्य अथवा प्रश्न कितने ? का जवाब देता है, संख्या कहलाता है। जैसे-10 किताब, यहाँ 10 एक संख्या है। आपका वजन कितना है ? Ans. 62 kg-यहाँ 62 एक संख्या है।
2. प्राकृत संख्या (Natural Number):- गिनती की संख्या अथवा शून्य से बड़े पूर्णांक को प्राकृत संख्या कहते हैं। इसे धनपूर्णांक (Positive Integer) भी कहते हैं। जैसे- 1, 2, 3, 4, 5, …… प्राकृत संख्या ।
3. पूर्ण संख्या (Whole Number) :- शून्य सहित प्राकृत संख्या को पूर्ण संख्या कहते हैं। इसके समुच्चय [W = (0, 1, 2, 3, …Q]] को W से व्यक्त किया जाता है। पूर्णांक (Integers)-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…. को पूर्णांक कहते हैं। इसके समुच्चय को Z से व्यक्त किया जाता है। Z = {….. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….)
4. अभाज्य संख्या (Prime Number):- वह संख्या जिसका केवल दो अपवर्तक हो, अभाज्य संख्या कहलाता है। इसे रूढ़ संख्या भी कहते हैं, जैसे–2, 3, 5…..
5. भाज्य संख्या (Composite Number):- वह संख्या जिसका दो से अधिक अपवर्तक हो, भाज्य संख्या कहलाता है। जैसे- 4,6,8,9, … 1
6. सह-अभाज्य संख्याएँ (Co-prime Numbers):- वैसी दो या दो से अधिक संख्याएँ जिनका उभयनिष्ठ अपवर्तक केवल । हो, यानी महत्तम समापवर्त्तक । है, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं; जैसे-(5, 7), (6, 7) सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।
7. द्वि-अभाज्य संख्या (जुड़वाँ अभाज्य संख्या) (Twin Prime Numbers):- अभाज्य संख्याओं का वैसा जोड़ा जिनके बीच का अंतर 2 हो, द्वि-अभाज्य संख्या कहलाता है; जैसे-(3, 5), (5, 7) इत्यादि जुड़वाँ अभाज्य संख्याएँ हैं।
8. सम संख्या (Even Number) :- वे संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभक्त हों, सम संख्याएँ कहलाती हैं; जैसे-2, 4, 6, … 1
9. विषम संख्या (Odd Number) :- वे संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभक्त नहीं हो, विषम संख्याएँ कहलाती हैं। जैसे-3, 5, 7,….।
10. संपूर्ण संख्याएँ (Perfect Numbers):- वैसी संख्याएँ जिनकी समस्त अपवर्तकों (गुणनखण्डों) का योग उस संख्या का दुगना हो, संपूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं। जैसे- 6 → 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 × 6

28 → 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 × 28

1. परिमेय संख्या (Rational Number):- वैसी वास्तविक संख्या जो p/q के लघुतम रूप में हो, p और q पूर्णांक हो, q ≠0 हो, परिमेय संख्या कहलाती है। p/q के लघुतम – 3/4, 5/7
2. अपरिमेय संख्या (Irrational Number):- वैसी वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं हो, अपरिमेय संख्या कहलाती है। जैसे-√2, √3 इत्यादि। योग के स्थान पर किया जाता है।श्रीनिवास रामानुजन आयंगर ने का मान अपने हाथों से दशमलव के एक लाख अंक तक निकाला।

प्रश्नावली 1.1 (पृष्ठ संख्या 8)

प्रश्न 1 युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से HCF ज्ञात कीजिये:

• (i) 135 और 225
• (ii) 196 और 38220
• (iii) 867 और 255

उत्तर- (i) a = 225, b = 135 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है}

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

225 = 135 × 1 + 90

135 = 90 × 1 + 45

90 = 45 × 2 + 0 {जब हमें r = 0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है}

b = 45 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}

HCF = 45

(ii) a = 38220, b = 196 {सबसे बड़ी संख्या कोa तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है}

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

38220 = 196 × 195 + 0 {जब हमें r = 0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है}

b = 196 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}

HCF = 196

(iii) a = 867, b = 255 {सबसे बड़ी संख्या कोa तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है}

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

38220 = 196 × 195 + 0 {जब हमें r = 0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है}

b = 196 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}

HCF = 196

प्रश्न 2 दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, या 6q + 3, या 6q + 5, के रूप का होता है जहाँ q कोई पूर्णांक है।

उत्तर- दर्शाना है की : a = 6q + 1, 6q + 3 या 6q + 5

माना कि a कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है;

जहाँ b = 6 होगा,

जब हम 6 से a को विभाजित करते है जो शेषफल क्रमश: 0, 1, 2, 3, 4 और 5 पाते है;

जहाँ 0 ≤ r < b

यहाँ a एक विषम संख्या है इसलिए शेषफल भी विषम संख्या प्राप्त होता है |

शेषफल होगा 1 या 3 या 5

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से हम पाते है;

a = 6q + 1, 6q + 3 या 6q + 5

प्रश्न 3 किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते है?

उत्तर- स्तंभों की अधिकतम संख्या = HCF (616, 32)

a = 616, b = 32 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है}

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

616 = 32 × 19 + 8 {जब हमें r = 0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है}

32 = 8 × 4 + 0

b = 8 {b का मान HCF होता है}

HCF = 8

इसलिए स्तंभों की अधिकतम संख्या = 8

प्रश्न 4 यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।

उत्तर- दर्शाना है: a² = 3m और 3m + 1

a = bq + r

माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक है जहाँ b = 3 और r = 0, 1, 2 क्योंकि 0 ≤ r < 3

तब a = 3q + r कुछ पूर्णांक के लिए q ≥ 0

इसलिए, a = 3q + 0 और 3q + 1 और 3q + 2

अब हम पाते है;

⇒ a² = (3q + 0)² और (3q + 1)² और (3q +2)²

⇒ a² = 9q² और 9q² + 6q + 1 और 9q² + 12q + 4

⇒ a² = 9q² और 9q² + 6q + 1 और 9q² + 12q + 3 + 1

⇒ a² = 3(3q²) और 3(3q² + 2q) + 1 और 3(3q² + 4q + 1) + 1

यदि m = (3q²) और (3q² + 2q) और (3q² + 4q + 1) हो तो

हम पाते है कि;

a² = 3m और 3m + 1 और 3m + 1

प्रश्न 5 यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।

उत्तर- माना, a कोई धनात्मक पूर्णांक है;

युकिल्ड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से;

a = bq + r जहाँ; 0 ≤ r < b

b = 9 रखने पर

a = 9q + r जहाँ; 0 ≤ r < 9

जब r = 0 हो;

a = 9q + 0 = 9q

a³ = (9q)³ = 9(81q³) या 9m जहाँ m = 81q³

जब r = 1 हो

a = 9q + 1

a³ = (9q + 1)³ = 9(81q³ + 27q² + 3q) + 1

= 9m + 1 जहाँ m = 81q³ + 27q² + 3q

जब r = 2 हो तो

a = 9q + 2

a³ = (9q + 2)³ = 9(81q³ + 54q² + 12q) + 8

= 9m + 2 जहाँ m = 81q³ + 54q² + 12q

अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।